Algo más de trigonometría

En este documento encontraréis ejercicios para practicar

• cómo hallar el resto de las razones trigonométricas, dada una cualquiera
• la reducción de las razones al primer cuadrante
• demostraciones aplicando las relaciones trigonométricas fundamentales
• ecuaciones trigonométricas

Algo más de trigonometría

2ª Parte: Usando la trigonometría

Vamos a hacer las mismas medidas que efectuamos en la primera parte del trabajo, pero utilizando procedimientos trigonométricos. Ambos los hemos visto en clase:

 

El método de la tangente

 

El método de las dos tangentes o doble observación

Trataremos de hallar la altura de los mismos tres objetos que medimos en el trabajo anterior y contrastaremos los resultados obtenidos con los diferentes métodos. de medir directamente.
Hay que usar los dos métodos en todos los casos. Necesitareis el siguiente material:

• Metro o cinta métrica
• Un aparato de medir ángulos.
• Una calculadora científica.
• Cada grupo los resultados que obtuvo en el trabajo anterior.
• El cuaderno y un lápiz o boli para anotar las medidas.

Las medidas conviene repetirlas varias veces, desde distintas distancias, contrastando las
diferencias entre los resultados obtenidos. Antes de comenzar convendrá que tengáis
preparadas en vuestra libreta unas tablas.

Para el método de la tangente:

• Nombre del objeto medido
• Altura de los ojos del observador
• Distancia al pie delobjeto medido
• Ángulo de elevación α
• Altura que se estima que tiene el objeto

Para el método de las dos tangentes:

• Nombre del objeto medido
• Altura de los ojos del observador
• Distancia entre los dos puntos donde se mide
• Ángulo de elevación α
• Ángulo de elevación β

Si las alturas calculadas de los objetos difieren de manera significativa, volved a medir y recalculad.
Si las medidas siguen siendo muy distintas discutid si un método es más adecuado que el otro, más
exacto, etc. Calcular la media entre los resultados obtenidos para mejorar el resultado.

Bien, pero ahora me diréis: ¿Y cómo medimos los ángulos?
Pues con este aparatito que vosotros mismos os váis a construir que se llama clinómetro o teodolito casero
En el siguiente enlace podéis acceder a un video para ver cómo se construye

Video para construir un clinómetro o teodolito casero

1ª Parte: La sombra o un espejo son suficientes

En esta primera parte mediremos una farola, la altura del edificio del instituto y otro objeto de vuestra elección.
Para resolver estas situaciones aplicaréis vuestros conocimientos sobre semejanza de triángulos y haréis las mismas mediciones utilizando

• El método de las sombras
• El método del espejo

Para ello necesitaréis:

• Metro o cinta métrica
• Espejo
• Cuaderno
• Bolígrafo o lápiz
• Calculadora
• y... un día soleado

Antes de comenzar conviene que estudiéis ambos métodos para saber las medidas que vais a tener que tomar y que tengáis preparadas en vuestro cuaderno unas tablas para anotar de manera ordenada los datos obtenidos.
Es importante que hagais una estimación previa de la medida que vais a calcular y que la contrastéis con el resultado final. ¡A ver si tenéis buen ojo o no!
También es necesario realizar varias veces la misma medida, repitiendo el método, anotar todas las mediciones y dar como resultado la media de todas ellas.

Método de las sombras

La tabla puede tener los siguientes campos:

• Nombre del objeto medido
• Altura del observador
• Longitud de la sombra del observador
• Longitud de la sombra del objeto medido
• Altura que se estima que tiene el objeto
• Altura calculada

 Seguid los siguientes pasos:

1. Medid la altura de una persona (a la que llamaremos el observador). Anotadla en la tabla
2. Localizad cerca del instituto una farola cuya sombra pueda medirse con facilidad. Haced lo mismo con la sombra del instituto y con el otro objeto que hayáis elegido. haced las medidas y anotadlas en la tabla.
3. Repetid las medidas cambiando el observador.
4. Tened en cuenta que el sol "se mueve".
5. Se pueden repetir las medidas haciéndolas a horas diferentes.

Método del espejo

La tabla puede tener los siguientes campos:

• Nombre del objeto medido
• Altura de los ojos del observador
• Distancia entre el objeto y el espejo
• Distancia entre el observador y el espejo
• Altura que se estima que tiene el objeto
• Altura calculada

 Seguid los siguientes pasos:

1. Medid la altura a la que están los ojos del observador. Anotadla en la tabla.
2. Colocad el espejo en el suelo entre el observador y el objeto que se quiere medir. El observador se deberá mover hacia atrás hasta que vea en el espejo la parte superior del objeto que se quiere medir. Medid las distancias entre el objeto y el espejo, así como entre el observador y el espejo. Anotadlas en la tabla.
3. Repetid las medidas, cambiando e posición el espejo y manteniendo el mismo observador.
4. Repetid las medidas cambiando el observador.

En ambos casos:

• Haced los cálculos convenientes
• Si las alturas calculadas de los objetos difieren de manera significativa, volved a medir y recalculad.Si las medidas siguen siendo muy distintas, discutid si un método es más adecuado que otro, más exacto, etc.
• Calculad las medias entre los resultados obtenidos en cada uno de los métodos para mejorar el dato.
• En todo momento deberá contrastarse el resultado obtenido mediante el cáculo con el valor de ese dato que se ha estimado de manera razonable. En el caso de que haya discrepancias apreciables, se deberá tratar de explicar las posibles causas.

Y sobre todo... ¡Pasadlo bien mientras trabajáis!

Trabajo sobre medidas indirectas

Con frecuencia nos encontramos con objetos que no podemos medir directamente, bien sea porque son muy altos, bien porque están muy lejos o porque no podemos acceder al pie del objeto.
Lo que vamos a hacer en este trabajo es medir indirectamente, al menos, la altura de una de las farolas que rodean el instituto y la altura del edificio del instituto.
El trabajo lo dividiremos en dos partes:

• 1ª Parte: Haremos las mediciones valiéndonos solamente de nuestros conocimientos sobre semejanza de triángulos.
• 2ª Parte: Mediremos los mismos objetos usando la trigonometría.

Será importante la presentación y estructura del trabajo, las explicaciones del proceso y las conclusiones.
El trabajo lo vais a hacer en equipo: tres o cuatro componentes. Todos tenéis que participar en su elaboración y no vale trocear el trabajo de manera que uno hace una parte y no se entera del resto. Eso se nota una barbaridad en la redacción.

Últimos exámenes

La semana que viene tenemos el examen global de Funciones. Ya habéis visto en clase que podíais haberlo hecho mucho mejor, así que mirad bien los exámenes resueltos ¡y aprended de los errores!

• Prueba 5: Características de las funciones
• Prueba 6: Funciones elementales

Para practicar más...

Algunos de vosotros me habéis pedido más material de álgebra. Tened en cuenta que, a veces, no es cuestión de matarse a hacer ejercicios, sino de fijarse bien en el tipo de errores que cometéis para no repetirlos, de razonar bien cada problema y saber no tanto el "cómo" sino el "porqué" se resuelve de esa manera.
En cualquier caso, aquí tenéis:

• Fracciones algebraicas
• Ecuaciones y sistemas
• Problemas de ecuaciones
• Inecuaciones

Que os sea leve...

¡Ah! Y los últimos exámenes resueltos:

• Prueba 2: Polinomios
• Prueba 3: Ecuaciones e inecuaciones

Soluciones del tema 3

Como os prometí, aquí tenéis las soluciones de los ejercicios de vuestro libro de texto. Analizad con cuidado qué son debidos los errores. ¡Un último esfuerzo que, si habéis trabajado, seguro que lo hacéis bien!

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